國家（jiā）質檢總局  李慎安

　　一（yī）、問題的提出

　　在一個測量過程的數學模型中的兩個或兩個以上的輸（shū）入量X₁、X₂，……的估計值x₁，x₂，……之間（jiān），如果由於相（xiàng）同的原因（yīn）導（dǎo）致（zhì）他們出現了相（xiàng）互的聯係(同時都偏大或偏小地類似正比，或其一偏大另一偏小地類似反比)的現象，在不確定度評定中稱之為相關（guān）或互不獨（dú）立。

　　這種（zhǒng）導致相關的原因一般有:
　　1.他們來自（zì）於同（tóng）一（yī）測量儀器或測量裝置，特別是當x₁，x₂，……比較接近（jìn）的情況下，會出現較大的相關性。
　　2.來自於相同的實物標準，例如（rú）:量塊、砝碼、量杯（bēi）、量瓶、標準電阻、標準電池等計量標準器，特別（bié）是當檢測過程中（zhōng）隨機效應導致的分散性較小的情況下，會出現較大的（de）相關性。
　　3.在獲得x₁，x₂，……中使用了相同的（de）參（cān）考數據（jù）。
　　當輸入量估計值（zhí）之間出現相關時，必然導致他們的協（xié）方（fāng）差以及相關係數不為零。例如在輸（shū）入量x_i和x_j的估（gū）計值和的協方差的估（gū）計值是（shì）由n對（duì）獨立重複（fù）觀測值X_ik，X_jk所得到（dào）等（děng），按統（tǒng）計方法給出的式子為:
    

　　很明顯，隻有上式右邊的兩個（gè）殘差（chà）符號相同時，其積為正，而求和（hé）時有正值，導致協方差與相關（guān）係（xì）數估計值均為正，反之均為負。要用統計方法對此進行估計，則必須有n個儀器或計量標（biāo）準。這作為一般實驗室很難做到，也就是本文所提出的問題（tí）之一。
    此外，當出現（xiàn）相關時，對輸出量Y的測量結果y的合成方差u_c²(y)，在JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》(以下簡稱《JJF1059》)給出了一個計算式(22)。它比不相關情（qíng）況下（xià）的合成隻多（duō）了一項。
    

　　

　　而這一項的協方差u(x_i，x_j)如（rú）果（guǒ）代之以相關係數的估計（jì）值
    

　　即（jí）可變成為:
    

    這就（jiù）構成了《JJF1059》的式(25)。在式(25)下麵，給出了當（dāng）r(x_i,x_j)=+1的情況下，u_c(y)為由每個輸入估計值x_i的標準不確定度u(x_i)產生的輸出估計值y的標準不確定度分量u_i(y)=c_iu(x_i)的線性和。這裏（lǐ）的問題是靈敏係數c_i是否應按u_i(y)的（de）定義（yì）取絕對（duì）值。就像《JJF1059》式(19)的式（shì）中對u_i(y)所（suǒ）作（zuò）的定義（yì）。這（zhè）就是本文所提出的問題（tí）之二。
    《JJF1059》在討論r≠0情況下的合成中，給出了唯一的例子:
    當（dāng）標稱值均為1kΩ的10個電阻器，用同一個值為R_s的標準電阻器校準時，設校準不確定度可忽略，檢（jiǎn）定證書（shū）給出的R_s的標準不（bú）確（què）定度u(R_s)=0.10Ω。現將此10個電阻器用電阻可忽略的導（dǎo）線串聯，構成標稱值為10kΩ的（de）參考（kǎo）電阻。
    在求R_ref的合成標準不確定度時，對電阻器來說r(R_i，R_j)=1，，u(x_i)=u(R_i)=u(R_s)，則
    

故得
    

    這個例題的解中，給出的r(R_i,R_j) =1顯然不是按其定義，根據重複觀測結果評定出來的，而隻是按題意所提供的信息評定，即:校準導致的分散性可忽略，因而R_i的不（bú）確定度（dù）u(R_i)中不再包含有隨機效應導致的分量而隻有一個分量就是R_s的（de）u(R_s)所導致的（de）這一係統效應。從而R_s以1∶1的方（fāng）式影響每個（gè）R_i的校準值。使R_i均以相同的量值偏大或偏小。這就是r=+1的依據（jù），無疑這是可行的（de），也是對的。但是，如果對R_i校（xiào）準過（guò）程中（zhōng）隨機效應導致的分量u_rd(R_i)不能忽略不計，對u_c(R_ref)應如何（hé）評定？這就是（shì）本文擬討論（lùn）的問題之三。
    

二、關於相關係數

r為1的非統計（jì）方法估計與不確定度評定
    如果（guǒ）我們把《JJF1059》計算u_c²(y)的式（shì）子(25)簡化一下，再用更（gèng）為簡單（dān）的符號以及（jí）設定隻有兩個輸入量時:
    設（shè）:a=c₁u(x₁)
    b=c₂u(x₂)
    則（zé）式(25)成為:
    u_c²(y)=a²+b²+2abr如果r=0，就是x₁與x₂相（xiàng）互獨（dú）立的情況下的不確定度傳播律，即《JJF1059》中的式（shì）(18)和(19)。
    如果r=+1，則可得:
    u_c(y)=a+b
    把上式的右邊稱之為代數和較為（wéi）妥（tuǒ）當。因為我們在a與b的設定中，並未取c₁和c₂的絕對值而保留其原有正或負的符號。
    例如對有機化工（gōng）產（chǎn）品中灰（huī）分的測定，樣品中灰（huī）分含量的質量分數w按下式計算:
    w=(m₁-m₂)/m
    式中:m₁——坩堝加灰分的質量；m₂——坩堝質量（liàng）；m——試樣質量。
    m₁、m₂及m均用同一台自動顯示電子天平（píng）測出。最大允許誤差MPE=±5mg，設其重複性標準偏差s_r=4mg。
    如果測得m=50.000g；m₁=40.100g；m₂=40.000g。
    很明顯，如果不（bú）考慮空氣浮力（lì）、溫度等導致的對測量結果分散性的影響(事實上，這種檢測中的（de）這類影響可忽略不計)，那麽，他們的不確定度（dù）u(m)、u(m₁)和（hé）u(m₂)都各有（yǒu）兩個分量，其一是天平示值（zhí）的（de）零修正Δm的標準不確定度u(Δm)=|MPE|×均勻分布的標準偏差轉換係數b∶0.6=5mg×0.6=3mg；另一是s_r。
    針對其分子，灰（huī）分質量m₃來說，m₃=m₁-m₂=0.1g。m₃的不確定度由4個分量組成，其中，兩個3mg與兩個s_r=4mg。
    u(m₁)的（de）兩個分量，其靈敏係數均為+1；而u(m₂)的兩個分量（liàng），其靈敏（mǐn）係數均為-1。由（yóu）於m₁與m₂相（xiàng）差甚小，這（zhè）裏為0.1g，對於所用電子天平來說，他們是很鄰近的兩個示值，因而有理由認為40.100g與40.000g這兩個值受相同示值誤差的影響而同時偏大或偏小了同（tóng）一個值，我們說m₁與m₂這兩個輸入量在（zài）估計值正相關而且r=+1。而它們的（de）s_r由於來自隨機效應而彼（bǐ）此獨立。
    根據《JJF1059》前言中所表明的評定不確定度方法中，與分量如何分組（zǔ）無關的原則，我們可以把這兩個r=+1的分量先行合成，其一為c₁u(m₁)=+1×3mg，另一為c₂u(m₂)=-1×3mg=-3mg，其代數和為零。剩下的兩個（gè）分量4mg由於r=0而應按方和根計算為，這就是灰分（fèn）m₃的測量結果0.1g的標準不確定（dìng）度。即（jí）分（fèn）子的標準不確定度，至於分母m=50.000g的不確定度u(m)則按彼此獨（dú）立的兩（liǎng）個（gè）分量4mg與3mg合成為
    

    以下采用分子m₃與（yǔ）分母m的（de）相對標準不確定度按方和根來求（qiú）w的相對合成標準不確定度u_crel(w):
    u_rel(m₃)=5.7mg/0.1g=5.7×10^-2
    u_rel(m)=5mg/50g=1×10^-4
    很明（míng）顯u_crel(w)隻決定於u_rel(m₃)為5.7×10^-2
    由於（yú）w=0.1g/50g=0.002=0.2%
    u_c(w)=u_crel(w)·w
    =5.7×10^-2×0.002=0.012%
    如按包含因（yīn）子k=2給出擴展不確定度
    U=2×0.012%=0.024%
    測量結果（guǒ）給出:
    w=(0.200±0.024)%(k=2)
    可以看出，由於m₁與m₂的相關導（dǎo）致m₃的不確定度大為減（jiǎn）小，這就是為什麽來自於不同符號的靈敏係數在評定中不是取絕（jué）對值的原因。
    

三、相關係數

r既不（bú）能估計（jì）為+1或-1，又不能估計為零的不確定度評定（dìng）
    在相（xiàng）關係數接近於+1或（huò）-1時，令其為+1或-1進行合成的評定是恰當的，但在有些情（qíng）況下，既不能估計為（wéi）+1或-1，而又不能估計輸入量估計值彼此獨立，即r=0，有的國家標準中(例（lì）如德國標準DIN1319-3:1996《單一被測量的不確（què）定度評定》)建議給出r=+0.5或-0.5。
    例如（rú）:在使用天平測量某（mǒu）一質量Y=M時(這裏Y作為輸出量符（fú）號)，分別采用了兩個標準（zhǔn）砝（fǎ）碼X₁=M₁和X₂=M₂(這裏X₁與X₂作兩個獨立的輸入量)，與之（zhī）平衡而得出（chū）M=M₁+M₂，而質量（liàng）M₁與M₂在事先是用同一個參考標準砝碼(計量標準器（qì）)進行校準的（de），參考標準的（de）質量X_q=M₀。
    如果在對M₁與M₂進行校準時，校準過程中的不確定度分量(隨機效應導致的分散性)大大小於M₀的不確定度，則相關係數（shù）r(m₁,m₂)接近於+1，而導致:
    u(m₁，m₂)=u(m₁)u(m₂)
    而（ér）有
    u(m)=u(m₁)+u(m₂)
    而當對M₁和M₂進行校準時，校（xiào）準過程中的不（bú）確定度（dù）分量遠大於M₀的不確定度，即可設定相關係數r(m₁,m₂)接近於（yú）零，即相互獨立從而導致
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)
    然而，在M₁與（yǔ）M₂的校準中，是否用了同一參考標準砝碼不能（néng）肯定（dìng）的情況下，也（yě）就是既有可（kě）能是同一個，也有可能是不同的參考標準砝碼，則可估計相關係數
    r(m₁,m₂)=+0.5
    這時
    u²(m)=u²(m₁)+u²(m₂)+u(m₁)×u(m₂)
    設用（yòng）兩個標稱值均為200g的砝碼m₁與m₂組成質量m=400g，其數學模型
    m=m₁+m₂
    如m₁與m₂在校準中（zhōng）所用（yòng）標準砝碼質量m₀的標準（zhǔn）不確定度u(m₀)=0.01g，設校準過程中（zhōng）出現的（de）隨機效應導致的分散性可忽略不計，則可認（rèn）為m₁與m₂的校（xiào）準值是強相關而可（kě）估計為（wéi）r=+1，由於它們的靈敏係數c₁=c₂=+1，m的合成標準不確定度
    u_c(m)=u(m₁)+u(m₂)
    =2×0.01g
    =0.02g
    但如果對m₁和m₂校準時並非使用同一標準砝碼而是各用了一個標準砝碼，它們的標準不確定度相同，均（jun1）為0.01g，這時（shí），如仍可認為校準過程中導致的分散性可以忽略，則可以認為（wéi）m₁與m₂的校準值彼此獨立，即r=0，由於c₁=c₂=+1，輸出（chū）量m的合成標準不確定（dìng）度
    

    第三種情況是不能肯定m₁與m₂的校準（zhǔn）是否用的是同一個標準m₀，還是分別各用了一個。這（zhè）兩種可能（néng）均存在，這時，應估計r=+0.5得
    

    根據以（yǐ）上的討論和例（lì）子，當兩個輸入量估計值的（de）標準不確定度絕對值相等且均為1的情況下，相關係（xì）數r=+1和r=+0.5，它們的靈敏係數符號相同和（hé）不相同的（de）情況（kuàng）下（xià），這（zhè）一係統效應導致的不確定度分量（liàng）的合成可（kě）給出為下表
    

    可以得出一個近似的結論:這類數學模型（xíng）中當c₁=c₂的情（qíng）況下（xià），對r的評定為1或0.5，影響u_c(y)不大，但c₁=-c₂時，r的（de）評（píng）定為1或0.5對（duì）u_c(y)有明顯影響。
    與上述情況相仿（fǎng），可以導出r=-1和-0.5的結果，從略。
    

四、隨機效應導致的（de）分散性不能忽略情況下輸出量

Y估計值y合成標準不確定度的計算
    在本文開頭“問（wèn）題的提出（chū）”中問題之三的例中，設校準過程的不確定度u_rd(R_i)=0.2Ω，顯然不能忽（hū）略（luè），如果把10個R_i的不（bú）確定度u(R_i)的兩個分量:u(R_s)與u_rd(R_i)先行合成:
    

    而串聯後的（de）電阻R_ref的（de）合成標準不確定度u_c(R_ref)由這10個u(R_i)合（hé）成（chéng），這就（jiù）出現了R_i之間相關係數的（de）評定（dìng）問題，從現有信息來考慮r不（bú）能是（shì）+1，但也不能是零。比較可靠的（de）評定方法（fǎ）是不進行u(R_s)與u_rd(R_i)的合成而（ér）是按u_c(R_ref)有20個分（fèn）量。其中10個（gè）u(R_s)=0.1Ω，它（tā）們之間屬於r=+1的相關。另10個u_rd(R_i)屬於隨機（jī）效應導致的分散性而相互（hù）獨立，按（àn）r=0進行合成。也就是把係統效應導致的（de）分散（sàn）性與隨機效應導致的分散性（xìng）分別先行合成，得到
    來自R_s的10個（gè）合（hé）成為（wéi）:10×0.1Ω=1.0Ω；
    來自校（xiào）準（zhǔn）過程的10個合成為:
    

    這兩部分（fèn）間彼此（cǐ）獨立而可按方（fāng）合（hé）根得出