測量的目的是（shì）為了得到測量結（jié）果，但在許多（duō）場（chǎng）合下僅給出測量結果往往還不充分。任何（hé）測量都存在缺陷，所有的測量結果都會或多（duō）或少地偏離被測（cè）量的真值，因此在給出測量（liàng）結果的（de）同時，還必須同時指出所給（gěi）測（cè）量結果（guǒ）的可（kě）靠程度。在各種（zhǒng）測量領域，經常采用（yòng）諸如測量誤差、測量準確度和測量不確定度等術語來表示測量（liàng）結果（guǒ）質量的好壞。 

一、測量誤差的定（dìng）義（yì）

    測量誤差常常簡稱為誤差。國家計量技術規範JJF1001-1998《通用計量術（shù）語及定義》中給（gěi）出測量誤差的定義為:
    測量結果減去被測量（liàng）的（de）真值。
    注:(1)由於真值不能確定（dìng），實際上用（yòng）的是約定真值。
    (2)當有必要與相對誤差相區別（bié）時，此術（shù）語（yǔ）有時稱為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的（de）絕對值相（xiàng）混淆，後者為誤差的模。
    該誤差定義從20世紀（jì）70年代以來（lái）沒有發生過變化。
    根據誤差的定義，若要得到誤差就必須知道真值。但真（zhēn）值無法得到，因此嚴格意義上的誤差也無（wú）法得到。雖然在誤差定義的注解中同（tóng）時還指出:“由於真值不能確（què）定，實際上用的是約定真值”，但此時還需考慮約定（dìng）真值本身的誤差（chà）。因而可能得到的隻是誤差的估計值。何況有些測量連約定真值都無法得到，例如（rú），地球和月球之間距離的測（cè）量（liàng）。對這一類既不可能知道其真值，又無法知道其約（yuē）定真值的測量，是無法得到（dào）誤差的。
    此外，在“誤（wù）差（chà）”這一術語的（de）使用上也經常出現概念混亂的情況（kuàng），即“誤（wù）差”這一術語的使用經常有不符合誤差定義的情（qíng）況。根據（jù）誤差（chà）的定義，誤差是一個差值，它是測量（liàng）結果與真（zhēn）值或約定真值之差。在數軸（zhóu）上它表示為一（yī）個點，而並不（bú）表示為一（yī）個區間或範圍。既然它是兩個量的差值，就應該是一（yī）個具有確定符號的（de）量值。當（dāng）測量結果大於真值時，誤（wù）差為正值；而當測量結果小於真值時，誤差為負值。由此可見，誤差這（zhè）一參數既不應當也（yě）不可能以“±”號的形式表示。過去人們在使用“誤差”這一術語時，有時是符合誤（wù）差定義的，例如（rú）測量儀器（qì）的示值誤差，它表示“測量儀（yí）器的示值與對應輸入量真值（zhí）之差”。但（dàn）經常也有誤用的情況，例如過去通過誤差分析所得到的測量結果（guǒ）的所謂“誤差”，實際（jì）上並不是真正的誤差，而是被測量不（bú）能確定的範圍，或者說是測量結果可能（néng）存（cún）在（zài）的最大誤差，它不（bú）符（fú）合（hé）誤差的定義。
    必須要強調的是（shì）既然誤差等（děng）於（yú）測量結果減（jiǎn）去被測量（liàng）的真（zhēn）值(或約定真值)，因此誤差隻有通過（guò）測量才能得到。通過所謂的分析方（fāng）法是（shì）得不到（dào）誤差的（de），或者說通過分析方法得到的不可能（néng）是誤差。

二、係統誤差和隨（suí）機誤差

    誤差可以（yǐ）分為（wéi）係統誤差和隨機誤差（chà）兩類。係統誤差的定義（yì）為:
    在重複性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。
    注:(1)如真值一樣，係統誤差及其原因不能完全（quán）獲知。
    (2)對測量儀（yí）器而言，其係統誤差也稱為測量儀器的偏差。
    由定義可知，係統誤差（chà）僅（jǐn）與無限多次（cì）測量結果的（de）平均值有關，而與在重複性條件下得到的不同測量結果（guǒ）無關。因此，在（zài）重複性（xìng）條件下得到的不同測量（liàng）結果應該具有相（xiàng）同的係統（tǒng）誤差。
    由於係統誤差（chà）和真值（zhí）有關，而真值是無法確切知道的，隻能用約定真值代替，因而可能得到的隻是係統（tǒng）誤差的估計值，並（bìng）具（jù）有一定的不確定度。係統誤差可以通過對測量結果進行修正而消除。由於誤差（chà）等於負的（de）修正值，因（yīn）此係統誤差的不確定度就（jiù）是修正（zhèng）值的不確定度。
    不宜按過去的說法將係統誤差分成已（yǐ）定係統誤差和未定係統誤差。也（yě）不宜說未定係（xì）統誤差按隨機誤差處理。未定係統誤差其實是不存在的，過去（qù）所說的未定係統誤（wù）差從本質上說並不是（shì）誤差，而是不確定度。
    係統誤差一般來（lái）源於影（yǐng）響量，它對測量（liàng）結果的影響已經被識別並可以定量（liàng）地進行估算。這種影響稱之為“係統（tǒng）效應”。若（ruò）該效應比較顯著，也就（jiù）是（shì）說如果係統誤差（chà）比（bǐ）較大（dà），則可在測量結果上加上修正值而予以補償，得（dé）到修正後的測（cè）量結果。
    隨機誤差的定義為:
    測量結（jié）果與在重複性條件下，對同一被測（cè）量進行無限多次測量所（suǒ）得結（jié）果的平均值之差。
    注:(1)隨機誤差等於誤差減去係統誤差。
    (2)因（yīn）為測量隻能（néng）進行有限次數，故（gù）可能確定的（de）隻是隨機（jī）誤差的估計（jì）值。
    根據定義，若測量結果為無限多次測量結果的平均值（zhí），顯然此時的隨機誤差為零，也就是（shì）說測量結果中已經不含有（yǒu）隨機誤差分量，隻存在係統誤差。但實際上不可能進行無限多次測量，因而在測量結果中隨機誤差（chà）和係統誤差分量都存在。在重（chóng）複性條件下得到的不同測量結果具有不同的隨機誤差，但有相同的係（xì）統誤差。例如，在短時間內對某一砝碼的質量連續稱量兩次，雖然得到的測量結果可能不同，例如分（fèn）別為10.006g和10.008g，即它們的隨機誤（wù）差各不相同，但它們的係統誤差是相同的。
    直到現（xiàn）在，有許多關（guān）於誤差或不確定度的教科書中還經常錯誤地將由（yóu）多次（cì）重複測量結果計算得到的實驗標準差稱為“隨機誤差”。1993年（nián）前，隨機誤（wù）差被定義為（wéi）在同一量的多次測量過（guò）程中，以不（bú）可預知方式變化（huà）的測量誤差分量。這裏所謂的不可預知（zhī）分量是（shì）指在相同測量條件（jiàn）下（xià）的（de）多次測量中，誤差的符號及其絕對值變化不定（dìng）的分量。其（qí）大小用多次重（chóng）複測量結果的實驗標準差表示。
    由於隨機變量的數學期望值等（děng）於（yú）對該隨機變量進行無限多次測量的平均值，因此也可以說（shuō），隨機誤差是（shì）指測量誤差中數學期望為零的誤差分量，而係統誤（wù）差則是指（zhǐ）測量誤（wù）差中數（shù）學期望不（bú）為零的（de）誤差分量。
    根（gēn）據定（dìng）義，誤差、係統誤差和隨（suí）機誤差均表示（shì）兩個量（liàng）值之差，因此隨機誤差和係統誤差也（yě）都應該具有確定的符號，同（tóng）樣也不（bú）應當以“±”號的形式（shì）出現。由於隨機誤差（chà）和係統誤差都是對（duì）應於無限多次測量的理想概念，而實際（jì）上無法進行無限多次測（cè）量，隻能用有限次（cì）測量的結果作為無限多次測量結果的估計值，因此可以確定的隻是隨機誤差和係統誤差的估計值。
    誤差經常用於（yú）已知約定真值的情況（kuàng），例如經常用示值誤差來表示測量（liàng）儀器的特性（xìng）。   

三、誤（wù）差、隨機誤差和係統誤差之間的（de）關係

    由誤差、隨機誤差和係統誤差的定義可知:
    誤差=測量結果-真值
        =(測量結果-總（zǒng）體均值)+(總體均值-真值)
        =隨機誤差（chà）+係統誤（wù）差
    或測量（liàng）結果=真值+誤差=真值+隨（suí）機誤差+係統誤差
    圖1給出（chū）測量結果的隨機誤差、係統誤差（chà）和誤差之（zhī）間關係的示意圖。無限多次測量結果的平均值也稱為總體均（jun1）值。圖中的曲線為被測量的概率密度分布曲線，該曲線下方與橫軸之間所包含部分的麵積表示測（cè）得值在該區間內出現的（de）概（gài）率，因此縱坐標表示概率密度。注意圖（tú）中表示隨機誤差、係統誤差（chà）和誤差的箭頭方向，向右表示其（qí）值為正（zhèng），反之則為（wéi）負值。由（yóu）圖1可知，誤差等於隨機誤差和係統誤差的代數（shù）和。既然誤差是（shì）一個差值，因此任何誤差的合成，不論隨機誤差（chà）或係統誤差，都應該采用代數相加的方法。這一結論與我們過去常用的誤差合成方法不（bú）一致（zhì）。過去在對隨（suí）機誤差進行合成時（shí），通（tōng）常都采用方和根法（fǎ）。兩者的（de）區別在於隨機誤差定義的（de）改變。

    圖1  測量誤差示意圖

   也有（yǒu）些作（zuò）者將誤差（chà）分（fèn）為四類:係統誤差、隨機誤（wù）差、漂移和粗差。但主要還是前（qián）麵（miàn）兩類。漂移是由不受控的影響量的係統影響所引起的，常常表現為時間效應或磨損效應。因此漂移可以（yǐ）用單位（wèi）時（shí）間內的（de）變化或使用一（yī）定次數後的變化來表（biǎo）示。從實質（zhì）上來說，漂移是一種（zhǒng）隨時間或隨使用次（cì）數（shù）而改變（biàn）的係統誤差。
    測（cè）量結果中還可能存在粗差，粗差是由測量過程中不可重複的突發事件所引起的。電子噪聲或機（jī）械噪聲可以引起粗差。產生粗差的另一個經常出現的原（yuán）因是操作人員在（zài）讀數和書寫方麵的疏忽以及錯誤地使用測量設備。必（bì）須將粗差和其他幾種誤差相區分（fèn），粗差是（shì）不可能再進一步描述的。粗（cū）差既不可能被定量（liàng）地描述，也不能成為測量不確定度的一個分（fèn）量。由於粗差（chà）的（de）存在，使測（cè）量結果（guǒ）中（zhōng）可能存在（zài）異常值。在計算測量結果和進行測量不確定度評定之前（qián），必須剔除測量結果中的異常值。在測量（liàng）過（guò）程中，如（rú）果發現某個（gè）測量條件不符合要求，或者出現了可能影響到測量結果的（de）突發（fā）事件，可以立即將該數據從原始記錄中剔除，並記錄下剔除原因（yīn）。在計算測量結果和進行不確定度評定時，異常值的剔除應通過對數據作（zuò）適當的檢驗，並按一定的規則進行。
    無論隨機誤差或係統誤差，所有（yǒu）的誤差從本質上來說均是係統性的。如果發（fā）現某一誤差（chà）是非係（xì）統性的，則（zé）主要是因為產生誤差（chà）的原因沒有找到，或是對（duì）誤差的分辨能力不夠（gòu）所致。因此，可以說隨機（jī）誤差（chà）是由不受控（kòng）的隨機（jī）影響量所引起的。由隨機效應引入的不確（què）定度可以用（yòng）標準偏差以及分布類型來（lái）表示。多次測（cè）量結果的平均值常常作為（wéi）估計係統誤（wù）差的基礎。

    圖2  測（cè）量結果的誤差類型圖解

   圖2給出幾種不同類型誤差（chà）的圖解。圖中，直線1表（biǎo）示真值，它是不隨時間而變化的，因此是一條與時間坐標平行的直線，但其位置是不可能確切知道的。2和3表示在兩個不同的時間t₁和t₂進行測量所得到（dào）的分散性，即被測量的概率密度（dù）分布曲線。由（yóu）於漂移的存在，在兩個不同（tóng）的時間得到的多次測量（liàng）結果的平均值是不同的。斜線4表示測量結果的漂移，即無限多次測量結（jié）果（guǒ）的平均值隨時間的變（biàn）化。5和6分別表示在時間t₁和t₂進行無限多次測量所得結果的平均值(即它們的數學期望值)。於（yú）是根據（jù）係統誤差的定義，它們與真（zhēn）值1的差7和8就分別表示在兩個（gè）不同時間（jiān）t₁和t₂進行測量時（shí）的係統誤差。9和10分別表示在時間t₁和t₂具體（tǐ）進行測量時得到的某個測量結果。它們與（yǔ）無限多次測量結果的平均值5和6之差即為隨機誤差(圖中11和（hé）12)。兩條虛線之間所夾的區域為不確定區域，是（shì）測量結果可能出現的範圍。出現在（zài）不確定區域之外的測量結果13和14是在計算（suàn）中應（yīng）予以剔除的粗差。
測（cè）量結果的不（bú）確定度的定義為:
    表征合理地賦予（yǔ）被測量之值的分散性，與測量結果相聯係的參數。
    注:1.此參數可以是諸如（rú）標準（zhǔn）偏差或（huò）其倍數，或說明了置信水準的（de）區間的半寬度。
    2.測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結果的統計分布估算，並用實驗標準偏差表征。另一些分量則可用基於經驗或其他信息的假定概率分布（bù）估算，也可用標準（zhǔn）偏差表征。
    3.測（cè）量結果應理解為被測量之值的最佳估計，而所有的不（bú）確（què）定度分量均貢（gòng）獻給（gěi）了（le）分散（sàn）性，包括那些由係統效應引起的(如，與修正值和參考測量標準有關的)分量（liàng）。
    首先要注意定義中“被（bèi）測量之值”這一說（shuō）法的含義。一般說來（lái），“被（bèi）測量（liàng）之（zhī）值”可以（yǐ）理解為被測量（liàng）的真（zhēn）值（zhí），但在這裏不能直接將“被測量之值”理解為“真值”，因（yīn）為“真值的分散（sàn）性（xìng）”的說法無法理解。由於JJF1001-1998中給出“測量結果”的定義為:由測量所得到的賦（fù）予被測（cè）量的值，將兩（liǎng）者進行比較可（kě）以發現這裏的“被測量之值（zhí）”似乎（hū）應該（gāi）可以理解為“測量結果”，但它與我們通過測量所得到的“測量結果”仍有差別。在對被測量（liàng）進行測量時，最後給出一個測量（liàng）結果，它是被測量的最佳（jiā）估計值(可能是單次測量的結果，也可能是重複（fù）性條件下多次測量的平（píng）均值)。而這裏“被測量之值”應理解為許多（duō）個測量（liàng）結果，其中不僅包括（kuò）通過測量得到的測量結果，還（hái）應包括（kuò）測量中沒有得到但又是可能（néng）出現的（de）測量結果。例如，用一台電壓表測量某一電（diàn）壓，且電壓表讀數不加修正值（zhí），若對（duì）於該測量點電壓表的最大允許誤差為±1V，用該（gāi）電（diàn）壓表進行了20次重複（fù）測量，則該20個（gè）讀數的平均值就是測量結（jié）果，還可以由它們得（dé）到測量結果的分散性。但“被測量之值（zhí）”的分散性就不同了，它除了包括測量結果的分散性外，還應包括在受控範圍內改變測量條件(例（lì）如溫度（dù）)所可能得到的測（cè）量結果，當電（diàn）壓表（biǎo）的示值誤差在最大允許（xǔ）誤差範圍內變化時所可能得到的測量結果，以及所有（yǒu）係統效應對測（cè）量結果的影（yǐng）響。由於後者不（bú）可能在“測量（liàng）結果的分散性”中出現，因此“被測量之值的分散性”應比“測量結果的（de）分散性”大（dà），也包含更多的內容。這就是在定義的注3中所說的在分散性中應包括那些由係統效應所引起的（de）不確定度分量，而係統效（xiào）應引入的不確定度分量在測（cè）量結果的分散性中並沒有反映出來（lái）。
    根（gēn）據定義，測量不確定度表示被測量之值的分散性，因此不確定度表示一個區間，即被測量之值可能的分布區間。這（zhè）是測量不（bú）確定度和（hé）測量誤差的最根本的區別，測量誤差是一個差值，而測量（liàng）不確定度是一個區間。在（zài）數軸上，誤差表（biǎo）示為一個“點（diǎn）”，而不（bú）確定度則表示為一個“區間”。
    測（cè）量不確定度是測量者合（hé）理賦予給（gěi）測量結果的，因此測（cè）量不確定度將或（huò）多或少與評定者有關，例如與評（píng）定者的經驗、知識（shí）範圍、認識水平等有關（guān）。因（yīn）此測量（liàng）不確定（dìng）度評定將或多或少帶有一些主觀色彩。定義中的“合理（lǐ）”是指應該考慮各種因素對測量結果的影響所作的修正，特別是測量應處於統計控製狀態下，即處於隨機控製（zhì）過程中。也就是說測量應在重複性條件或複現性條件下進行。
    為了表征這種分散性，測量不確定度可以用標準偏（piān）差，或標準偏差的倍數，或說明了置信水準區間的半寬（kuān）度（dù）來表示。
    當測量不（bú）確定度用標準偏差σ表示（shì）時，稱為標準不確定度，統（tǒng）一規定（dìng）用小寫拉丁字母（mǔ）“u”表示，這是（shì）測量不（bú）確定度的第一種表示方式。但由（yóu）於標準偏差所對應的置信水準(也稱為置信概率)通常還不夠高，在正態分布情況下僅為68.27%，因此還規定（dìng）測量不確定度也（yě）可以用第二種方（fāng）式（shì）來表示，即可以用標準偏差的倍數kσ來表示。這種不確（què）定度稱為（wéi）擴展不確定度，統（tǒng）一規定用大寫拉丁字母U表示。於是可得標準（zhǔn）不確定度和擴展不確定度之間的關係:
    U=kσ=ku
    式中k為包含因子。
    擴展不確定（dìng）度U表示具（jù）有（yǒu）較大置信（xìn）水準區間的半（bàn）寬度。包含因子（zǐ）有時也寫成k_p的形式，它與合成標準不確（què）定度u_c(y)相乘後，得到對應（yīng）於置信水準為（wéi）p的擴展不確定度U_p=k_puc(y)。
    在不確定度（dù）評定（dìng）中，有關各種不確定度的符號均是統一規定的，為避免他人的誤解，一般不要自行隨便更改。
    在（zài）實際使用中，往往希望（wàng）知道測量結果的置信區間，因此還規定（dìng）測量不確定度也可以用第三種表示方式，即說明了置（zhì）信水準的區間的（de）半寬度a來表示。實際上它也是一種擴展不確定度，當規定的置信水準為p時，擴展不（bú）確定度（dù）可（kě）以用符號U_p表示。
    測量不（bú）確（què）定度的第二種和第三種表示方式給出的實（shí）際上都是（shì）擴展不確（què）定度（dù）。當已知包含因子k時，擴展不確定度（dù）U是從其中包含多少個(k個，k即為包含因子)標（biāo）準不確定度u的角度出（chū）發所描（miáo）述的擴展不確定（dìng）度。而當p已知時（shí），擴展不確定度U_p則是從該區間所（suǒ）對應的置信水準p的角度出發來描述的擴展不確定度。對（duì）於前者，已知k而不知道p，後者則正好（hǎo）相反，已知（zhī）p而（ér）不知道k。兩者各自分別從不同的角度出發來描述擴展不確定（dìng）度，因此包含因子k與置信水準p之（zhī）間應該存在（zài）某種函數關係（xì），但它們之間的關係與被測量的概率密度分布有關。也就是說，隻有在知道被測量分布的情況下，才可以由k確定p或由p確定k。而在測量不確定度評定中，經常會遇到已知置信水（shuǐ）準p而需要（yào）確定包含因子k的情況，這就是為什麽在測量不確定度評定中經常需要考慮各輸入量以及被測量分布的（de）原因。而在過去的誤差評定中一般不討論分布問題。
    JJF1059-1999規定，當置信水準（zhǔn）p為（wéi）0.99和0.95時，U_p可分別簡單（dān）地以U₉₉和U₉₅表示。
    誤差可以用絕對誤差和（hé）相對誤差兩（liǎng）種形式來表示，不（bú）確定度也同樣可以有絕對不確定度和相對不確定度兩種（zhǒng）形式。絕（jué）對（duì）形式表示的不確定度與被測量有相同的量綱。相對形式（shì）表示的不（bú）確定度（dù），其量綱為1，或稱（chēng）為無量綱。絕對不（bú）確定度常簡稱為不確定度，而相（xiàng）對不確定（dìng）度則（zé）往往在（zài）其（qí）不確定度符號“U”或“u”上（shàng）加上腳標“rel”以示區別。被測量x的標準不確定度u(x)和相對（duì）標準不確定度U_rel(x)之間的關係為:
    
    擴展不確定度也同樣可以有絕對和相對（duì）兩種形式（shì），絕（jué）對擴展不確定度U(x)和相對（duì）擴展不確定度Urel(x)之間也有同樣關係:
    
    在計算相對不確定度時（shí），分母中的x應取其真值。由於真值無（wú）法知道，實際上（shàng）用的是約定真值。而（ér）在實際工作中一般常以該量的最佳估計值，即測量結果來代替。
    若隨機變量x的值有可能為零，則不能采（cǎi）用（yòng）相（xiàng）對誤差或相對不確定度的表示形式。例如，在對測量儀器進行校準時，被（bèi）測量是儀器的示值誤差。在表示所測（cè）得的示值誤差的不確定度時，就不應該用相對不確定度來（lái）表示，因為測量（liàng）儀器的（de）示值誤差有可能為零。
    由於測量結果會受許（xǔ）多因（yīn）素的影響，因此通常不確定度由多個分量組成。評定方法分為A、B兩類。測量不確定度的A類評定是指用對觀測列進行統計分析（xī）的方法進行的（de）評定，其標準不確定度用實驗標準（zhǔn）差表征；而（ér）測量不（bú）確定度（dù）的B類評定則（zé）是指用不同於對觀測列進行統計分析的方法進行的評（píng）定。因此可以說所有與A類評定不同的其他評定方法均稱為B類評定，它可以由根據經驗或其他信息的假定概率分（fèn）布估算其不確定度，也以（yǐ）估計的標準偏差表征。所有各不確定度分量的合（hé）成稱（chēng）為合成標（biāo）準不確（què）定度，規定以符號（hào）u_c表示，它是測量結果的標準偏差的估（gū）計值。
    由（yóu）於無論A類評定或B類評定，它們的標準不確定度（dù）均以標準偏差表示，因此兩種評定方法得（dé）到的不確定度實質上並無區別，隻是評定方法不同而已。在對各不確定度分量（liàng）進行合成得到合成標準不確定度時，兩者的合成方法也無區別。因此（cǐ）在（zài）進行不（bú）確定度評定時，過分認真地討（tǎo）論每一（yī）個不確定度（dù）分量究竟屬於A類評定或是B類評定是沒（méi）有必要的。
    不少人習慣上將由A類評定和B類評定得到的不（bú）確定度分別方便地稱為A類不確定度（dù）和B類不確（què）定度。這一說法（fǎ）也未嚐不可，但不能由此而（ér）得到一個（gè）不（bú）恰（qià）當的結（jié）論:不確定度分為A類不（bú）確定度和B類不確定度兩（liǎng）類。對不確定度本身並不分類（lèi），每（měi）一個分量（liàng）的標準不確定度都要用標準偏差表示，而所謂的A類和B類僅是為了敘述方便起見而對其按評定方法進行的分類，而不是對不確定度本身的分類（lèi）。
    根據（jù）定義，測量不確定度是與測量結果相聯（lián）係的（de）參數（shù），意指測量不確定度是一個與測（cè）量結果“在一起”的參（cān）數，在測量結果的完整表述中應（yīng）該包括測量不確定度。