測量不確定度理解與應用(六)

關於測量不確定度的基（jī）本概念（續）

講授人：中國計量科學研究院研究員 倪育才

  　　測量結果的不確定度（dù）的定義為:
    　　表征合理地賦予（yǔ）被測量之值的分散性（xìng），與測量結果相聯（lián）係（xì）的參數。
    　　注:1.此參數可以是諸如標準（zhǔn）偏差或其倍數，或說明了（le）置信水準的區間的半寬度。
　　2.測量不確定度由多個分量組成。其中（zhōng）一些分量可（kě）用測量列結果的統（tǒng）計分（fèn）布估算，並用實驗（yàn）標準偏差表征。另一（yī）些分（fèn）量則可用基於經驗或其他信息的假定概率分布估（gū）算，也可用標準偏差表征。
　　3.測量結果應理解為被測量之值的最佳估計（jì），而所有（yǒu）的不確定度分量均貢獻給了（le）分散性，包括那些由係（xì）統（tǒng）效應引起的(如，與修正值和（hé）參考測量標準有關的)分量。
　　首先要注意定義（yì）中“被測量之值”這一說法的含義。一般說來，“被測量之值”可以（yǐ）理解為被（bèi）測量的真值，但（dàn）在這裏不能（néng）直接將“被測量之值”理解（jiě）為“真值”，因為“真值的分散性”的說法無（wú）法理解。由於JJF1001-1998中給（gěi）出“測量結果”的定義為:由測（cè）量所得到的賦予被測量的值，將兩者進（jìn）行比較可以發現這裏的“被測量之值”似乎應該可（kě）以理解為“測量結果”，但（dàn）它與我們通過測量所得到（dào）的“測量結果”仍有差別。在對被測量進行測（cè）量時，最後（hòu）給（gěi）出一個測量結果（guǒ），它是被測（cè）量的最佳估計值（zhí）(可能（néng）是單次測量的結果，也（yě）可能是重複性條件下多次測量的平均值)。而這（zhè）裏“被測量之值”應理解為許多個測量結果，其中不（bú）僅包括通過測量得到的測量結果，還應包括測量中沒有得到但又是可能出現的測量結果。例如，用一（yī）台電壓表測量某（mǒu）一（yī）電（diàn）壓，且電壓表讀數不加修正值，若對於（yú）該測量點電壓表的最大允許誤差為±1V，用該電壓表進行了20次重複測量，則該20個讀數的平均（jun1）值就是測量結果，還可以由它們得到測量結果的分散性（xìng）。但“被測量之（zhī）值”的分散（sàn）性就不同了，它除了包括測量結果的分（fèn）散性外，還應包括在（zài）受控範圍內改變測量條件(例如溫度)所可能得到（dào）的測量結果，當電壓表的示值誤差在最大（dà）允許誤差範（fàn）圍內變化時所可能得到的測量結果，以及所有係統效應對測量結果的影響。由於後者不可能在“測量（liàng）結（jié）果的分散性”中出現，因此“被測量之值的分散性”應比“測量結果的分散性”大，也包（bāo）含更多的內容。這就是在定義的注3中所說（shuō）的在分散（sàn）性中（zhōng）應包括那些由係統效應所引起的不確定（dìng）度（dù）分量，而係統效應引入的不確定度分量在測量結果的分散（sàn）性中（zhōng）並沒有反映（yìng）出來。
　　根（gēn）據定義，測量（liàng）不確定度表示（shì）被（bèi）測量之值的分散性，因此不確定度（dù）表示一個區間，即被測量之值可能的分布區間。這（zhè）是（shì）測（cè）量（liàng）不確定度和測量誤差的最根本的區別，測量誤差是一個差值，而測量不確定度（dù）是一個區間。在數軸上，誤差表示為一個“點（diǎn）”，而不確定度則表示為一個“區間”。
    　測量不（bú）確定度是測量者（zhě）合理（lǐ）賦（fù）予給測量結果的，因此測量不確定（dìng）度將或多或少與評定者有關，例（lì）如與評（píng）定者的經驗（yàn）、知識（shí）範圍、認識水平等有關。因（yīn）此測量不確定（dìng）度評定將或（huò）多或少帶有（yǒu）一些主（zhǔ）觀色彩（cǎi）。定義中的“合理”是指應該（gāi）考慮各種（zhǒng）因素對測量結果的影響所作的修正（zhèng），特別是測量（liàng）應處於統計控製狀態下（xià），即處於（yú）隨機控製過程中。也就（jiù）是說測（cè）量應在重複性條件或複（fù）現性條件下進行。
   　為了表征（zhēng）這種分散性，測（cè）量不確定度可（kě）以（yǐ）用標準偏差，或標準偏差的倍數，或說明（míng）了置信水準區間（jiān）的半寬度來表（biǎo）示。
    　當測量不確定（dìng）度用（yòng）標準偏差σ表示時，稱為標準不確定度，統一規定用小寫拉丁字母“u”表示，這是測量不確定度的第一（yī）種表示方式。但由（yóu）於標準偏差所對應的置信（xìn）水準(也稱為置信（xìn）概率)通常還（hái）不夠高，在正態分（fèn）布情（qíng）況下僅為68.27%，因此還規定測量不確定度也可以用第二種方式來表示，即可以用標準（zhǔn）偏差（chà）的（de）倍數kσ來表示。這種不（bú）確定（dìng）度稱為擴展不確定度，統一規定用大寫拉丁字母U表示。於是可得標準不確（què）定度和擴展不確定度（dù）之間的關係:
　    U=kσ=ku
    　式中k為包（bāo）含因子。
   　　擴展不（bú）確定度U表示具有較大置信水準區間的半寬度。包含因子有時也寫成k_p的形式，它與合成標準不確定度u_c(y)相乘後，得到對應於置信水準為p的擴展不確定度U_p=k_puc(y)。
    　在不確定度評（píng）定中，有關各種不確（què）定度的符號均是統一規定的，為避免他人的誤解，一般不要自行隨便更改。
   　在實際使用中，往往希望知道測量結果的置信區間，因此還規定測量不確定度也可以用第三種（zhǒng）表示方式，即說明了置信水（shuǐ）準的區間的半（bàn）寬度a來表示。實際上它也是一種擴展不確定度，當規定的置信水準為p時（shí），擴展不確定度可以用符號U_p表（biǎo）示。
   　　測量不（bú）確定（dìng）度的（de）第二種和第三種表示方式給出的實際上都是擴展不確定度。當已知包含因子k時，擴展不確定度U是從其中包含多少（shǎo）個(k個，k即為包含因（yīn）子)標準不確定度u的角度（dù）出發所描述的擴展不確定度。而當（dāng）p已知時，擴（kuò）展不確（què）定度U_p則是從該區間所對應（yīng）的置信水準p的角度出發來描述的擴展不確定度。對於前者，已知k而（ér）不知道p，後者則正好相反，已知p而不知道k。兩（liǎng）者各自分別從不同的角度出發來描（miáo）述擴（kuò）展不確（què）定度，因此包含因子k與置信水準p之間應該存（cún）在某種函數關係，但它們之（zhī）間的（de）關係與（yǔ）被測量的概率密度分布有關。也就是說，隻有在知道被測量分布的情況下，才可（kě）以（yǐ）由k確定p或由（yóu）p確定k。而在（zài）測量不確定度評定中，經常會遇到已知置信水準p而需要確定包含因子k的（de）情況，這就是為什麽在測量不確定度評定中經常（cháng）需要考慮各輸入量以及被（bèi）測量分布的原因。而在過去的誤差評定中（zhōng）一般不討論分布問題。
    　JJF1059-1999規定，當置信水準p為0.99和0.95時，U_p可分別簡單地以U₉₉和U₉₅表示。
    　誤差可以用絕對誤差和相對誤差兩種形式（shì）來（lái）表示，不確定度也同樣可以有（yǒu）絕對不確定度（dù）和相對不確定度（dù）兩（liǎng）種形式（shì）。絕對形式表示的（de）不確（què）定度與被測量有相同的（de）量綱。相對形式（shì）表示的不確定度，其量綱為1，或稱為無量綱。絕對不確定度常（cháng）簡稱為（wéi）不確定度，而相對不確定度（dù）則往往（wǎng）在其不確定度符號“U”或“u”上（shàng）加上（shàng）腳標“rel”以示區別。被測量x的標準不確定度u(x)和相對標準不確定度U_rel(x)之間的關係為:
    　
    　擴展不確（què）定度也同樣可以有絕對（duì）和（hé）相對兩種形式，絕對擴展（zhǎn）不確定度U(x)和相對擴展不確定度Urel(x)之間也有同樣關係:
    　
    　在計算相對不確定度時，分母中的x應取（qǔ）其真（zhēn）值。由於真值無法知道，實際上用的是約定真（zhēn）值。而（ér）在實際工作中一般（bān）常以該量的最佳估計值，即測量結果來代替。
    　　若隨機變量x的值有（yǒu）可能為零，則不能采用相對誤差或（huò）相（xiàng）對不確定度的表示形式。例如，在對測量儀器進行（háng）校準時，被測量是儀器的示值誤差。在表示所測（cè）得的示值（zhí）誤（wù）差的不確定度時，就不應該用相對不確定度來表示，因為測量儀器的示值誤差有可能為零。
    　由於測量結果會受許多因素的影響，因此通常不確定度由多個分量組成。評定方法分為A、B兩（liǎng）類。測量不確定（dìng）度的A類評定是指（zhǐ）用對觀測列進行統計分析的方法進行的評定，其標準不確定度用實（shí）驗標準差表征；而測量不確定度（dù）的B類評定則是指（zhǐ）用不同於對（duì）觀測列進行統計分析（xī）的方法進行的評定。因此可以說所有與A類評定不（bú）同的其他評定方法均稱為（wéi）B類評定，它可以由根據經驗或其他信息的假定概率分布估算其不確定度，也以估計的（de）標準偏差表征。所有各不確定度分量的合成（chéng）稱為合成標（biāo）準不確定度，規定以符號u_c表示，它是測量（liàng）結果的標準偏差（chà）的估計值。
    　由於無論A類評定或B類評定，它們的標準不確定度均以標準偏差表示，因此兩種評定方法得到的不確定度實質上並無（wú）區別，隻是（shì）評定方法不同而（ér）已。在對各不確定度（dù）分量進行合成得到合成標準不確定度時，兩者的合成方法也（yě）無區別。因此（cǐ）在（zài）進行不確定（dìng）度評定時，過分認（rèn）真地（dì）討論每一個不確定度分量究竟屬於A類評定或是B類評定是沒有必要的。
    　不少人習慣上將由（yóu）A類評定和B類評定得到的不確定度分別（bié）方便地稱為A類不確定度和B類不確定度。這一說法（fǎ）也未嚐不可，但不能由此而得到一個不恰當的結論:不確定（dìng）度分為A類不確定度和B類不確定度兩類。對不確定度本身並（bìng）不分類，每一個（gè）分量的標準不確定度都（dōu）要用標準偏差表示，而（ér）所謂的A類和B類僅是為了敘述方便起見而對其按評定方法進行（háng）的分類，而不是對不確定度本身的分類。
    　根據定（dìng）義，測量不確定度是（shì）與測量結果（guǒ）相聯係的參（cān）數，意指測量不確定度是一個與測量結果“在一起”的參數，在測量結果的（de）完整表述中（zhōng）應該包括測量不確定度（dù）。