國家質檢總局福州培（péi）訓中心  彭靖

　　一、問題的提出

　　在不等精度直接測量時，由各測量值x_i及其標準差σ_i計算加權算術平均值的標準差時（shí），有兩個計算公式
    
　　式（shì）中:p_i——各測量值的權；σ_i——各測量值的標準差；σ——單位權標準差；——加權算術平均值的標準差。
　　但這兩個公式的計算結果有時會相差很大。那（nà）麽，在這種情況（kuàng）下，采用哪個公式（shì）更為合（hé）理（lǐ）呢？本文對此從公式的推（tuī）導到公式的選用進行探討，並（bìng）給出了一般（bān）性的原則。    

　　二、公式的（de）數學推導

　　在不等精度測量時，各測量值的權的定義式為:
　　
　　測量結果的最佳（jiā）估計值為:
　　
　　則測量結（jié）果的（de）不確定度評定為（wéi）:
　　對式(5)求方差有
　　
　　設各測量值x_i的方差都存在，且已（yǐ）知分別為，即D(x_i)=
　　由(4)式有=σ²/p_i
    
    
　　從公式(1)的推導，我（wǒ）們可以看出，此時各測量值的方差(或標準差)必須是已知的。而在實際測量中，常常各測量值的方差(或標（biāo）準差)是未知的，無法直接應用公式(1)進行不確定度評定。但是，從分析來看，如果能由各測量值的殘差(其權等於測量值的權)求（qiú）出單位權標準差的（de）估計值，並將其代入公式(1)中，就可計算出加權算（suàn）術（shù）平均值標（biāo）準差的估計值。為（wéi）此，作如下（xià）推導:
    由殘差ν_i=x_i-  i=1，2，……n
    對ν_i單位權化
    
    由於v_i的權都相等（děng），因而可設為1，故用（yòng）v_i代替貝塞爾公式中的ν_i可得單位（wèi）權標準差的估計值
    
    將此式代入（rù）公式(1)，即得到加權算術平均值標準差的估計值
    
    從上麵的推導我們可以看（kàn）出（chū），公式(1)是在各測量值的標準差已知時計算出的不等精度測（cè）量結果的（de）不確定度的準確值；而公（gōng）式(2)是（shì）在各測量值（zhí）的標準差未知時計算出的不等精度（dù）測（cè）量結果的不（bú）確定度的估計值。從概率論與（yǔ）數理統（tǒng）計知（zhī）識（shí）可知，隻有在n→∞時，其（qí）單位權標準差的（de）估計值才能等於單位權的標準差，而由於測量次數的有限性和隨機抽樣取（qǔ）值的分（fèn）散性，這兩者是不相等的（de），所以由公式(1)和公式（shì）(2)確定的不確定度的值是也不相同的。
    

三、公式選用的一（yī）般原則

    筆者用了較大的篇幅來進行（háng）公式（shì）的數學推導，主要是為了說明這兩個（gè）公式推導的前提是不一樣的（de），其應用當然也就不同。我們分兩種情況來進行討論（lùn）。
    1.各（gè）測量值的（de）標準差未知時
    顯然，在這種情況下，由（yóu）於其測量值（zhí）的權是由其他方法得到的，而各測量值的標準差未知，無法應用公（gōng）式(1)來進行不確定度評定，而隻能用公式(2)。
    2.各測量值的（de）標準差已（yǐ）知時（shí）
    當已知（zhī）測（cè）量值x_i和（hé）其標準差σ_i時，有（yǒu）兩種方法（fǎ）計算的標準差:第一種方（fāng）法是用公式(1)進行計算，第二種方法是用公式（shì）(2)進行（háng）計算。前麵已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩（liǎng）種方法的區別是:第一種方法是根據已（yǐ）知的σ_i計算，沒有用到測（cè）量（liàng）數據x_i。而第二種方法既用到了（le）σ_i(確定權)，也用到了測量數據x_i(計算（suàn）殘差)。公式(2)是一個統計學公（gōng）式（shì），與觀測（cè）次（cì）數n有關，隻有n足夠大，即觀（guān）測數據足夠多時（shí），該（gāi）公式才具有實際意義。所以，根據前（qián）麵的推導分析，當測量次數較少時，考（kǎo）慮到隨機抽樣取值的分散性，建（jiàn）議采用公式(1)進（jìn）行不確定度評定，當測（cè）量次數（shù）較多時，采用公式(2)評定不確定度（dù）更能真實地反映出這一組（zǔ）數據（jù）的不確定度（dù）值，它（tā）包含了（le）由隨機效應引起（qǐ）的不確定度，也包含了由係統效應引起的不確定度，因（yīn）而更具有實驗性質。現在的問（wèn）題是，測量次數究（jiū）竟（jìng）為多少時才是較少或較（jiào）多呢？根據概率論與數理統計知識，單次測量的標（biāo）準差與平均值的標準差的關係為:，當σ一定時，n>10以後，已減少得非常緩（huǎn）慢（màn）。所以常把n=10作為一個臨界值。綜上所述，當測量（liàng）次數n<10時，用公式(1)進行（háng）計算效果較好；當測量次數n≥10時，采用公式(2)來（lái）評定不確定度會更客觀一些（xiē）。另外，還有一個問題值得注意:不等精度測量本來就是改變了測量（liàng）條件的複現性測量，這些改變了的測量條件（jiàn）有（yǒu）可能帶來（lái）係統誤差。當n足夠大時（shí）且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時，兩個（gè）公式計算的結果應近似相等。否則本次測量數據可能存（cún）在係統（tǒng）誤差（chà）。
    

四、實例

    [實例（lì）1]用（yòng）國家基準器在相同的條件下連續3天檢（jiǎn）定某一基準米尺，檢定（dìng）的結果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值（zhí）.雪，999.9419mm(5次測量取平均（jun1）值)，試求最終的檢定結果。
    [解]由於測量條件相同（tóng），3天裏的10次測（cè）量是等精度的。3個檢定結果所以精度不等，是因（yīn）為每天測量的（de）次數不同，所以其權為:
    p₁:p₂:p₃=σ²/n₁:σ²/n₂:σ²/n₃=3:2:5
    所以，加權算術（shù）平均值為:
    
    因各測量（liàng）值的標準差未知，故σ_x應按公（gōng）式(2)估算，所以
    
    [實例2]對某物理量進行9次直接測量，數據見下表，評定測量結果的不確定度。
    

    [解（jiě）](1)計算各測量值的權:
    由式(4)知
    p_i=σ²/
    令單位權標準差σ=50，則各測量值（zhí）的權為:
    p₁:p₂:p₃:p₄:p₅:p₆:p₇:p₈:p₉
=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
    (2)計算最佳估計值:
    
    (3)計算的標準差:
    第一（yī）種方法；用公式(1)計算（suàn）
    
    第二種方法:用公式(2)計算
    
    從本例看，兩種方法計算的結（jié）果相差較大。依據第三節的原則，該例采用第一種方法計（jì）算的結果為好。從對觀（guān）測列的分（fèn）析來（lái）看，x_max-x_min=132，取值很分散，似有係統誤差（chà）存在。當係統誤差大於隨機誤差時（shí），測量值的變化規律會明（míng）顯地為（wéi）係統誤差（chà）所左右，因而無法用統計的方法得到正確的測量結果，原有的測量值也就失去了意義。要有效地提高測量準確度，必須認真分析測（cè）量過程中係統（tǒng）效應的（de）影響（xiǎng），並采取（qǔ）措施，減小或（huò）消除其影響。