山東（dōng）電力研究院計量檢測中心  範巧成  汪東軍

　　有效數字的概（gài）念是計量（liàng）學裏的一（yī）個基本概念，它對規範數據記（jì）錄（lù）及測量結果（guǒ）的表（biǎo）達起著重要作用。但隨著（zhe）誤差理論的發展，特別是《測（cè）量不確定度（dù）表示（shì）指南》和（hé）JJF1059-1999《測量不確定度的評定與（yǔ）表示》的實施，原來有效數字的定義對數據的表（biǎo）達已不適應，為此筆者願與大家就有效數字的定義作一探討。    

　　一、關於有效數字的定義或解釋

　　有效數字是對近似數（shù）而言的（de），其（qí）定義在《誤差理論與數據處理》和《計（jì）量學概論》等（děng）資料中有時會看到不同的說法，例如:①如果近（jìn）似數Z的誤差限是某一位上的半個單位，則從這一位起直（zhí）到Z的第一個非零數字均為有效數字。②如果計量結果L的極限誤（wù）差不大於某一位上的半個單位，我們就說該位就是有效數字的末位（wèi），並且如果該位到L的左起第一個非零數字一（yī）共有幾位，就說L有幾位有效數字。③若數據的最末一位有半個單位以內（nèi）的誤差，而其它數據（jù）都是準確的，則各位數字都是“有（yǒu）效數字”。④在《中國實驗室（shì）注冊評審員培訓教程》中給出的有效數字的概念為:當該近似數的絕對（duì）誤差的模小於0.5(末)時，從左邊的第一個非零數字（zì）算起，直到最末一位（wèi）數字為止的所有數字。所謂(末)，指的是任何一個數最末一位數字所對應的單（dān）位量值，如19.8m的(末)為0.1m。這些定義說法雖然不同，但表達的意思是類似的，即都（dōu）提到了（le）誤差或極限誤差，且其數值不大於某（mǒu）一位（wèi）上的半個單（dān）位，該數位為最小的有效數位，左起（qǐ）第一個非零數字為（wéi）最大的有效數位。

　　在（zài）GB8170-1987《數值修約規則》中對術語“有效位數”的解釋是:對沒有（yǒu）小數且以若幹個零結尾的數值，從非零（líng）數字最左一位向右（yòu）數得到（dào）的位數減去無效零（líng）(即僅為定位用的零)的個數；對其（qí）它（tā）十（shí）進位數，從非零數字最左一位向右數而得到的位數，就是有（yǒu）效位數。該解釋中沒有提及誤差或極限誤差。    

　　二、在測量不確（què）定度（dù）的評定與表示中對有效數字的理解

　　JJF1059-1999 《測量不確定度的評定與表示》中沒有給出有（yǒu）效數字的（de）定義，但使用了（le）有效數字的概（gài）念（niàn），如8.13款:估計值的數值y和它的標準不（bú）確定度U_c(y)或擴展不確定度U的數值都不應該給出過（guò）多的位數。通常U_c(y)和U[以及（jí）輸入（rù）估計值x_i的標準不確（què）度度U(x_i)]最多為兩位有效數字。輸入和輸出（chū）的估（gū）計值，應修約到與他們不確定度的位數一（yī）致。例如（rú）:如果y=10.057 62Ω其U_c(y)=27mΩ，則y應進位到10.058 Ω。

　　也就（jiù）是說當不確定度取兩位有效數字時，輸出的估計值修約到與他們擴展不確定度的位數相一致後，其最後兩位均會是（shì）不確定的，但（dàn）他們同樣是有效數（shù）字，這樣上麵的10.058 Ω就是5位有效數字。如果按照前麵4個有效數字的定義（yì）來判斷（duàn） 10.058 Ω的有效（xiào）數字的位數，由於（yú）U_c(y)=27 mΩ，則其最多為4位有效數字。    

　　三（sān）、關於有效數字定義的探討

　　從4個有效數字的定義（yì）來看，有效數字都與過去所定義的極限（xiàn）誤差（chà）有關，且其數值不大於某一（yī）位上的半個單（dān）位。從前麵2個定義看這個（gè）“某一位”不一定是數值的（de）最後1位，在某書中給出這樣的例子:“4876±3和18765±12都是4位有效數字”。實際上這也不符合定（dìng）義，因為（wéi）對於4876±3來說誤差限為3，這裏的“某一位”是個位，其半個單位是0.5，即極限誤差大於某（mǒu）一位上的半個單位，不（bú）符合極限誤差（chà）不大於某一位上的半個單位，嚴格（gé）按定義來講4876±3隻有3位有效數字即487。同樣，18765±12說它是4位有效數字也不符合定（dìng）義（yì），因為假設是4位（wèi），這裏的“某一位”是十數（shù）位，其半個單位是5，而極限誤差是（shì）12，即極限誤差大於某一位上的半個單位，與（yǔ）定義不（bú）符。

　　從後麵2個定義看也有問題。它是將近似（sì）數修約為其絕對誤（wù）差的模小於最末一位的半個單位或小於0.5(末)，也就是說（shuō）當我們給出一個（gè）報告值後，從其保留的位（wèi）數就可知道其絕對誤差的模的極限。《中國實驗室（shì）注冊評審員培（péi）訓教程》中（zhōng）給出了（le）這樣的例子:“測量結果的數字，其有效位（wèi）數代表結果（guǒ）的（de）不確定（dìng）度，例如，某長度測量值為19.80mm，有效數字為3位；若是19.8mm，有效數字為4位。它們的絕對誤差的模分別小於0.5(末)，即分別（bié）小於0.05mm和0.005mm。”這種數據的（de）給出與JJF1059-1999《測量不（bú）確定度的評定與表示》不符。因為，從這個例子可以獲知這兩個數（shù）的極（jí）限誤差分別（bié）為0.05mm和0.005mm，也就是其擴展不確（què）定度分別為0.05mm和0.005mm，按照JJF1059-1999這樣的測量（liàng）結果應修約（yuē）到與他（tā）們不確定度的位數一致，即（jí）應為19.80mm和19.800mm。

　　綜合上（shàng）述情況（kuàng），筆（bǐ）者認為對於（yú）近似數應繼續使（shǐ）用有效數字的概念，但其定義應作一變化，否則無法（fǎ）與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示》中規定（dìng）的（de）標準不確定度的有效數字位數以及輸出量的估計值的有效數字位數相適應。有效數字應當是給出的有用的數字，它與顯示裝置的分辨力、數據處理者的需要或（huò）不確定度的數值等有關，因此，對有效數字是否可給出（chū）這樣的定義:有效數字是觀測者或數據處理者根據顯示裝置的分辨力、數據處理的需要或不確（què）定度的數值等對一個近似數所保留的位數，它是從（cóng）保留的末位直到左邊的（de）第一個非零數字的（de）所有（yǒu）數字。關於有效位數的確定方法與GB8170-1987《數值（zhí）修約規則》相同（tóng），即:對沒有小數且以若幹個零結尾的數值（zhí），從非零數字最左一（yī）位向右數得（dé）到的位數減（jiǎn）去無效（xiào）零(即僅為定位用的零)的個數；對其（qí）它（tā）十進位數，從非零數字最左一位向右數而得到的位數（shù），就是有效位數（shù）。

　　這裏“根據顯示裝置的分（fèn）辨力”是指所讀取和記錄的數值應（yīng）當是顯示裝置的分辨力的整數倍，此時所獲得的數據位數是恰當（dāng）的；“根據數（shù）據處理的需要”是指例如:將無（wú）限不循環小數（shù）π=3.14159…根據數據處理的需要截取到百分位可得近（jìn）似數（shù）3.14，此近似數為3位有效數字（zì），如根據需要截取到千分位可得近似數3.142，此近似數為4位有效數字。“根據不確定度（dù）的數值”是指符合JJF1059-1999的要求，例如某測量結果為L=10.1245 m，經測量不確定度評定其擴展不確定度為U=0.10m，k=2，則報（bào）告值應為L=10.12 m，為4位有（yǒu）效（xiào）數字，如果其擴展不確定度（dù）為U=0.010 m，k=2，則報告值應為L=10.124m，為5位有效數字。另外，對於一個位數很（hěn）多的計算結果，在（zài）沒有按規定修約之前最好不要說它有幾位有效數字，而隻說它是幾位數。

　　這樣（yàng），有效數字的定義（yì）就與JJF1059-1999《測量不確定度的評定與表示（shì）》基本一致，也符合習慣，即按規定給出的位（wèi）數都（dōu）應當是有效的（de）位數，無效的位數也就沒有給（gěi）出的必要。